beli domain indonesia, biaya kuliah universitas pancasila, biaya kuliah universitas trisakti, Blok Mesin, cloud hosting indonesia, cloud server indonesia, daftar universitas di indonesia, Danareksa Online Trading, dedicated server indonesia, Desain Mesin, domain dan hosting, domain dan hosting adalah, domain hosting murah, domain murah, domain paling murah, download software pc terbaru, file hosting indonesia, Gambar Mesin, Gambar Mesin Bubut, harga hosting website, harga web hosting, host indonesia, Hosting And Domain, hosting domain, hosting domain murah, Hosting Web, Info Mesin, Jasa Pembuatan Website Iklan Baris, jurusan universitas indonesia, Keamanan Sistem Informasi, Kumpulan Software Komputer, Mesin 4 Tak, Mesin Ayakan Pasir, Mesin Ball Mill, Mesin Blow Moulding, Mesin Briket, Mesin Bubut Universal, Mesin Crusher Batu, Mesin Crusher Plastik, Mesin Genteng, Mesin Giling Cabe, Mesin Giling Ikan, Mesin Giling Kedelai, Mesin Grinder, Mesin Hammer Mill, Mesin Kompos, Mesin Korter, Mesin Mie, Mesin Miling, Mesin Milling Vertikal, Mesin Obras, Mesin Offset Printing, Mesin Pembuat Bakso Ikan, Mesin Pencacah Rumput, Mesin Pendulang Emas, Mesin Penepung, Mesin Pengayak Pasir, Mesin Penggiling Mie, Mesin Penghancur Kayu, Mesin Pengolahan Karet, Mesin Penyedot Pasir, Mesin Perontok Padi, Mesin Pertambangan Emas, Mesin Pertukangan, Mesin Press Hose, Mesin Roll Forming, Mesin Rotary Dryer, Mesin Sedot Pasir, Mesin Serut, Mesin Spray Dryer, Mesin Stone Crusher, Mesin Tahu, Mesin Tepung, Mesin Tusuk Gigi, Mesin Tusuk Sate, Model Baju Bunga, Sistem Basis Data, Sistem Multimedia, Software Untuk Mengakses Internet, Spesifikasi Komputer Server, universitas internasional batam, universitas islam attahiriyah, universitas multimedia nusantara, universitas pendidikan indonesia, usaha kesehatan sekolah, vps indonesia, web hosting gratisan, web hosting indonesia, web hosting support php, Web Hosting Terbaik Di Indonesia, Web Hosting Terbaik Indonesia, web hosting termurah, Webhost Indonesia, webhosting indonesia, webhosting terbaik, website builder indonesia
Persamaan Diferensial Garis Transmisi Uniform
3.1. Domain waktu dan domain frekuensi,
Dua ilustrasi sirkuit saluran transmisi lengkap ditunjukkan pada Gambar. 3-1, menggabungkan definisi notasi dari Bab 2. Pada Gambar. 3-1 a) tegangan sinyal sumber adalah fungsi umum waktu, dan fitur rangkaian listrik dari sumber dan beban terminal dijelaskan oleh jaringan resistansi, induktansi dan kapasitansi. Pada Gambar. 3-1 (b) tegangan sinyal sumber adalah fungsi harmonik amplitudo konstan waktu pada beberapa frekuensi sudut ɵ rad / detik. Representasi rangkaian sumber dan beban terminal diganti dengan nilai-nilai impedansi masing-masing Zs dan ZT pada frekuensi tersebut.
terminal load
RLC network
Bab. 3] THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE 19
Gambar 3-1 (b) jelas bentuk di mana sirkuit akan ditarik ketika diinginkan untuk menentukan solusi a-c steady state pada frekuensi yang ditentukan. Dalam situasi umum nilai-nilai mungkin diberikan untuk frekuensi sudut (D, sumber tegangan rms phasor Vs, impedansi Zs dan ZT pada frekuensi 0, dan koefisien sirkuit terdistribusi R, L, G dan C untuk saluran transmisi pada frekuensi tersebut Informasi yang diinginkan adalah nilai-nilai fasor rms dari tegangan dan arus pada input dan ujung beban terminal dari garis, dan variasi dari tegangan fasor dan arus sepanjang garis.
Sebuah komplikasi muncul dari fakta bahwa dalam kasus-kasus praktis, sinyal-sinyal aktual yang ditangani oleh rangkaian saluran transmisi tidak pernah terbatas pada satu frekuensi, tetapi mencakup bandwidth yang terbatas. Contoh umum adalah rentang frekuensi audio dari sinyal suara, rentang frekuensi video dari sinyal gambar televisi, dan frekuensi harmonik dalam spektrum Fourier dari transien switching atau gelombang petir yang diinduksi pada saluran listrik 60-hertz.
Karena perilaku saluran transmisi nyata selalu bervariasi dengan frekuensi, sinyal dari bandwidth non-nol selalu terdistorsi dalam transmisi. Sifat distorsi untuk sinyal multi-frekuensi semacam itu adalah bahwa hubungan fase dan amplitudo di antara frekuensi komponen sinyal tidak sama pada keluaran saluran transmisi sebagaimana sinyal asli pada input.
Alternatif untuk menyelesaikan sirkuit saluran transmisi untuk perubahan fase dan amplitudo antara input dan output pada beberapa frekuensi yang berbeda dalam bandwidth dari sinyal. Distorsi pola waktu dari sinyal kompleks kemudian dapat diperoleh dengan prosedur sintesis, jika diinginkan. Kecuali untuk sinyal yang melibatkan pulsa atau diskontinuitas tajam lainnya, bagaimanapun, distorsi saluran transmisi sinyal bandwidth-hingga umumnya ditafsirkan secara langsung dari data pada variasi fase dan amplitudo dengan frekuensi di atas bandwidth sinyal, bukan dari perbandingan pola waktu.
Persamaan diferensial diturunkan dalam bab ini untuk kedua rangkaian domain waktu Gambar 3-1 (a) dan rangkaian domain frekuensi Gambar 3-l (b), dengan asumsi koefisien rangkaian terdistribusi konstan dalam setiap kasus.
3.2, Persamaan dalam domain waktu.
Persamaan diferensial untuk jalur transmisi seragam ditemukan dengan memusatkan perhatian pada bagian infinitesimal garis panjang AZ, yang terletak di koordinat z pada garis, jauh dari pemutusan jalur tersebut. Bagian baris ini memiliki resistansi seri total R AZ, induktansi seri L AZ, kapasitansi pintal C Az dan konduktansi shunt G AZ, dari dalil-dalil Bab 2. Sirkuit ekuivalennya sebagai jaringan dua-port dapat digambar dalam sejumlah cara yang berbeda. , menggabungkan elemen-elemen sirkuit ini. Salah satu sirkuit tersebut adalah L-bagian dari Gambar. 3-2 di bawah ini.
20 THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE [Bab. 3
melalui elemen konduktansi dan kapasitansi. Menggunakan kuantitas instan Gambar 3-2 (a), relasi ini dinyatakan dengan persamaan berikut, diturunkan dengan penerapan hukum Kirchhoff ke sirkuit:
+ AZ, t) — v(z, t)
Av(z, t)
öi(z,
—R Az i(z, t) — LAZ
i(z + AZ, t) — i(z, t)
Ai(z, t)
öv(z, t)
—G Az v(z, t) — CAZ
(3.2)
t)
Dibagi oleh Az dan kemudian membiarkan Az mendekati nol mengarah ke persamaan diferensial parsial
öv(z, t) -Ri(z, t) - L öi(z, t) (8.9) öz öi(z, t)öv(z, t)
(3.4)
Keberatan dapat dibangkitkan, secara sah, bahwa dalam persamaan (8.2) tidak v (z, t) dan turunannya yang menghasilkan Ai saat ini (z, t), tetapi tegangan v (z + AZ, t) dan turunan. Namun, jika tegangan v (z + AZ, t) diperluas dalam deret Taylor tentang z, ketentuan (82) diperoleh, bersama dengan ketentuan tambahan yang melibatkan (Az) 2, (Az) 3, dll. Ini adalah jumlah yang lebih tinggi dalam jumlah kecil yang dapat dijatuhkan pada melanjutkan ke batas. Tidak ada cara untuk mengatur elemen sirkuit ekuivalen dari panjang garis Az yang menghindari langkah ini.
Dari postulat analisis ini adalah satu-satunya fenomena rangkaian yang mungkin yang dapat menyebabkan tegangan garis bervariasi dengan posisi pada garis. Tanda-tanda berbagai istilah didikte oleh pilihan asli dari konvensi tanda untuk tegangan dan arus pada saluran.
Persamaan (9.4) dapat ditafsirkan dengan cara yang sama.
Bab. 3] THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE 21
Setiap kesan intuitif bahwa tanda-tanda dalam (3,9) dan (3,4) harus menghasilkan tegangan dan arus yang selalu menurun dengan meningkatnya jarak sepanjang garis, tanpa pondasi.
Langkah pertama yang biasa dilakukan untuk mencoba memecahkan persamaan simultan tersebut adalah dengan menghilangkan salah satu variabel. Hal ini dicapai dengan mengambil derivatif parsial sehubungan dengan z dari semua istilah dalam persamaan (9.3), dengan demikian:
ö20(z, t) -R öi(z, t) öZ2 öz
Urutan diferensiasi dalam istilah tangan kanan dapat diubah, memberi
ö2V(Z, t) -R öi(z, t)öi(z, t)
öZ2
Ketika sisi kanan (3.4) diganti dengan öi (z, t) / öz di (3.6), hasilnya adalah
a20(z, t) LC ö2v(z, t) + (LG+RC) öv(z, t) + RG 'V(z, t)
öZ2 öt2
Jika prosedur alternatif mengambil derivatif parsial sehubungan dengan z dari semua istilah dalam (3.4) diikuti, menggantikan hasil ekspresi untuk öv (z, t) / öz yang diperoleh dari (9.3), persamaan diferensial dalam i ( z, t) diperoleh yang mirip dengan (3.7), yaitu, ö2i (z, t) ö2i (z, t) öi (z, t)
LC+ RGi(z, t) (3.8) öZ2 öt2
Fakta bahwa i (z, t) dan v (z, t) mematuhi persamaan diferensial yang sama tidak berarti bahwa mereka adalah fungsi identik dari z dan t dalam masalah praktis, karena secara umum kondisi batas tidak sama untuk dua variabel.
Seperti dicatat untuk persamaan (3.3) dan (3.4), fakta-fakta fisik yang terkandung dalam persamaan ini mudah dipahami, dan persamaan dapat ditulis langsung dari postulat dari Bab 2. Persamaan (3.13) menyatakan bahwa tingkat perubahan Tegangan phasor dengan jarak sepanjang garis, pada titik tertentu dari garis, sama dengan impedansi seri dari garis per satuan panjang dikalikan dengan arus fasor pada titik tersebut. Persamaan (3.14) menyatakan bahwa laju perubahan arus fasor dengan jarak sepanjang garis, pada titik tertentu, sama dengan shunt admitance per satuan panjang garis dikalikan dengan tegangan fasor pada titik tersebut.
Karena ini adalah persamaan bilangan kompleks, masing-masing membawa informasi tentang besaran dan variasi sudut fasa, Tidak ada kesimpulan sederhana yang dapat diambil dari mereka dengan inspeksi. Seperti yang dicatat untuk persamaan yang sesuai (3.3) dan (3.4) dalam domain waktu, tidak benar untuk menyimpulkan dari tanda-tanda negatif dalam persamaan (3.13) dan (9.14) bahwa tegangan dan arus berkurang terus dengan jarak sepanjang garis.
Memecahkan persamaan diferensial orde pertama biasa linear pertama ini dengan koefisien konstan untuk persamaan terpisah dalam V dan I, menghasilkan dua persamaan urutan kedua: d2 V/dz2 - (R + +
d21/dz2 - (R + + ioC)1 (9.16)
Persamaan ini bentuknya jauh lebih mendasar daripada persamaan (3.7) dan (3.8) dan solusi mereka dalam hal V dan saya sebagai fungsi fasor z dapat ditulis langsung dalam ekspresi sederhana, seperti yang dilakukan dalam bab berikutnya. Kesederhanaan yang lebih besar ini menjadi dasar untuk komentar di Bagian 3.3 bahwa realistis untuk mempelajari teori saluran transmisi dengan perhatian utama terhadap solusi yang merupakan fungsi dari variabel frekuensi sudut nyata o, sementara jaringan konstan yang terpusat dapat dipelajari secara bermanfaat melalui solusi yang lebih umum dari persamaan dalam domain waktu atau dalam domain frekuensi kompleks.
22 THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE [Bab.3
Jika keumuman spesifikasi saluran transmisi dikurangi dengan mendalilkan bahwa satu atau dua R, L, G, dan C sangat kecil untuk ditetapkan sama dengan nol, satu atau lebih dari istilah di sebelah kanan persamaan (8.7) dan ( 3.8) akan hilang, Sebagian besar persamaan sederhana yang dihasilkan jatuh ke dalam kategori "standar" yang disebutkan, dan solusi yang bermanfaat bagi mereka dapat ditemukan dengan mudah untuk set kondisi batas yang berarti. Beberapa dari persamaan "berkurang" ini merepresentasikan aplikasi saluran transmisi khusus yang cukup dekat untuk tujuan praktis. Kasus L = G = O, misalnya, adalah deskripsi yang memadai dari kabel telegraf telegraf konduktor tunggal yang digunakan pada frekuensi rendah untuk apa yang disebut transmisi telegraf d-c. Koefisien sirkuit terdistribusi R dan C untuk kabel seperti itu sangat tepat konstan untuk semua aspek dari sinyal yang terlibat. Kasus R = G = O menggambarkan garis "lossless". Meskipun tidak ada jalur biasa yang benar-benar tanpa kehilangan, persamaan sederhana yang dihasilkan memberikan informasi yang berguna tentang sifat transmisi dari panjang pendek konduktor besar (karenanya kehilangan rendah) saluran transmisi frekuensi tinggi, seperti mungkin digunakan untuk membawa kekuatan sinyal televisi dari pemancar ke antena.
3.4Persamaan dalam domain frekuensi,
Untuk mengembangkan persamaan diferensial yang menggambarkan perilaku saluran transmisi dalam domain frekuensi, prosedur yang paling sederhana adalah kembali ke bagian L yang sangat kecil pada Gambar 3-2 (b). Dua persamaan fasor dapat ditulis:
AV(z) = -RAz1(z) - joLAz1(z)
I(z) = Al(z) = -Gaz V(z) - ioCAz V
(3.9)
(9.10)
Setiap istilah persamaan ini adalah bilangan kompleks. Masing-masing secara implisit adalah fungsi harmonik waktu pada frekuensi sudut (D radian per detik. Referensi sudut fase nol untuk bilangan kompleks ketika dinyatakan dalam bentuk polar adalah arbitrary. Pilihan yang nyaman untuk referensi ini mungkin merupakan fasor tegangan sumber, atau fasor tegangan di ujung input atau ujung beban terminal dari garis.
Sebagai persamaan dalam tegangan sesaat (bentuk yang diterapkan oleh hukum Kirchhoff), persamaan (8.9) akan mengambil bentuk berikut, menggunakan konvensi umum analisis rangkaian fasor:
Re {V(z) — R Az Re {I(z) ejå)t } — LAZ Re {io I(z) cot } (3.90)
dimana Re { } berarti bagian nyata dari bilangan kompleks di kurung kurawal. R Az dan L Az adalah bilangan real menurut definisinya.
Persamaan serupa dapat ditulis untuk arus sesaat dari persamaan (3.10).
Membagi persamaan (3.9) dan (3.10) oleh Az dan membiarkan Az mendekati nol, mengarah ke persamaan diferensial
= - (R + job) I(z) (3.11)
(3.12)
Ini tidak ditulis sebagai persamaan diferensial parsial, karena V dan saya secara eksplisit hanya berfungsi dari satu variabel z. Bahkan tidak perlu diingatkan secara terus-menerus bahwa V dan saya adalah fungsi dari z, dan persamaannya dapat lebih disederhanakan menjadi
Bab. 3] THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE 23
Seperti dicatat untuk persamaan (3.3) dan (3.4), fakta-fakta fisik yang terkandung dalam persamaan ini mudah dipahami, dan persamaan dapat ditulis langsung dari postulat dari Bab 2. Persamaan (3.13) menyatakan bahwa tingkat perubahan Tegangan phasor dengan jarak sepanjang garis, pada titik tertentu dari garis, sama dengan impedansi seri dari garis per satuan panjang dikalikan dengan arus fasor pada titik tersebut. Persamaan (3.14) menyatakan bahwa laju perubahan arus fasor dengan jarak sepanjang garis, pada titik tertentu, sama dengan shunt admitance per satuan panjang garis dikalikan dengan tegangan fasor pada titik tersebut.
Karena ini adalah persamaan bilangan kompleks, masing-masing membawa informasi tentang besaran dan variasi sudut fasa, Tidak ada kesimpulan sederhana yang dapat diambil dari mereka dengan inspeksi. Seperti yang dicatat untuk persamaan yang sesuai (3.3) dan (3.4) dalam domain waktu, tidak benar untuk menyimpulkan dari tanda-tanda negatif dalam persamaan (3.13) dan (9.14) bahwa tegangan dan arus berkurang terus dengan jarak sepanjang garis.
Memecahkan persamaan diferensial orde pertama biasa linear pertama ini dengan koefisien konstan untuk persamaan terpisah dalam V dan I, menghasilkan dua persamaan urutan kedua: d2 V/dz2 - (R + +
d21/dz2 - (R + + ioC)1 (9.16)
Persamaan ini bentuknya jauh lebih mendasar daripada persamaan (3.7) dan (3.8) dan solusi mereka dalam hal V dan saya sebagai fungsi fasor z dapat ditulis langsung dalam ekspresi sederhana, seperti yang dilakukan dalam bab berikutnya. Kesederhanaan yang lebih besar ini menjadi dasar untuk komentar di Bagian 3.3 bahwa realistis untuk mempelajari teori saluran transmisi dengan perhatian utama terhadap solusi yang merupakan fungsi dari variabel frekuensi sudut nyata o, sementara jaringan konstan yang terpusat dapat dipelajari secara bermanfaat melalui solusi yang lebih umum dari persamaan dalam domain waktu atau dalam domain frekuensi kompleks.
Soal Latihan
3.1. Koenisi sirkuit terdistribusi dari jalur kabel pasangan pengukur 19 pada = 104 rad / detik adalah: R = 0,053 ohms / m, L = 0,62 microhenries / m, G = 950 micromicromhos / m, C = 39,5 micromicrofarads / m. Pada koordinat z pada garis arus seketika diberikan oleh i (t) = 75 cos 104 t milliamperes. @) Temukan ekspresi untuk gradien tegangan sepanjang garis pada titik z, dalam volt / m. (b) Berapakah nilai maksimum maksimum dari gradien tegangan?
gradien tegangan diberikan dalam domain waktu dengan persamaan (3.8) sebagai öv/öz —Ri — Löi/öt —0.053(0.075 cos 10%) + (0.62 X x 0.075 sin 10%)
—3.98 X 10 -8 cos 104t + 0.46 X 10 -3 sin 104t4.01 cos (104t — 3.03) millivolts/m
gradien tegangan maksimum adalah 4.01 millivolts/m, jika cos (104t — 3.03)
24 THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE [Bab. 3
3.2. Untuk jalur transmisi Soal 3.1, tegangan fasor pada suatu titik pada garis memiliki rms besarnya 16,5 volt, frekuensi sinyal menjadi 1100 hertz. Asumsikan nilai-nilai yang diberikan untuk R, L, G dan C menjadi valid pada frekuensi yang sedikit berbeda ini, (a) Tentukan sebuah ekspresi untuk gradien fasor saat ini sepanjang garis pada titik yang sama, (b) Berapa besarnya fasor rms dari arus transversal antara dua konduktor sepanjang 10 cm dari panjang garis pada titik, dan apa sudut fase arus ini relatif terhadap tegangan garis pada titik? (c) Berapa gradien arus sesaat maksimum sepanjang garis pada titik tersebut?
Gradien saat ini sepanjang garis diberikan dalam domain frekuensi dengan persamaan (8.14) sebagai
dl/dz = — (G + iwC)V
— [950 X 10-12 + i(2T X + 50)
— (0.016 + 54.51) X 10 —6 amperes/m
Persaman (8.10)
menunjukkan bahwa perubahan arus longitudinal sepanjang bagian pendek garis adalah negatif dari arus transversal untuk bagian yang sama.
Oleh karena itu arus transversal untuk panjang 10 cm adalah 0.1(0.016 + 54.51) X 10 ¯6
ampere, dinyatakan sebagai kuantitas fasor, fasor referensi dari sudut fase nol menjadi tegangan garis pada titik tersebut. Arus transversal menyebabkan tegangan garis oleh tan -1 4,51 / 0,016 = 89,7 0 dan hampir arus murni kapasitif.
Karena besaran semua besaran fasor yang digunakan dalam (o) dan (b) adalah nilai rms, gradien arus sesaat maksimum sepanjang garis adalah VT 10,016 + 54,511 X 10 -6 = 6,38 mikroamperes / m.
Masalah Tambahan
3.3. (a) Gambarkan kembali rangkaian Gambar 3-2 sebagai jaringan T simetris, dengan resistansi seri dan induktansi seri dari bagian dibagi menjadi dua bagian yang sama.
(b) Gambarkan kembali rangkaian Gambar. 3-2 sebagai T-jaringan simetris, dengan konduktansi shunt dan kapasitansi shunt dari bagian dibagi menjadi dua bagian yang sama.
(c) Buat kembali rangkaian Gambar 3-2 sebagai jaringan L terbalik, dengan konduktansi shunt dan kapasitansi shunt di sebelah kiri.
3.4.
Untuk masing-masing rangkaian Soal 3.3, buat notasi domain-waktu yang sesuai untuk • v dan i pada setiap simpul jaringan. Untuk setiap rangkaian tulis persamaan eeact yang berhubungan dengan persamaan (3.1) dan (8.2). Dengan membuat ekspansi seri Taylor baik v atau i tentang koordinat z, menunjukkan bahwa persamaan yang tepat mengurangi dalam setiap kasus ke (8.1) dan (8.2) pada melanjutkan ke batas dengan membiarkan pendekatan Az nol.
3.5. Tulis ulang persamaan (8.7) untuk saluran transmisi lossless R = G = O.
(a) Tunjukkan bahwa untuk persamaan yang dihasilkan
v(z, t) adalah solusi, di mana fl dan f2 adalah fungsi kontinu yang memiliki turunan pertama dan kedua, (b) Dimensi apa yang ditunjukkan untuk kuantitas? ATL8. (B) kecepatan Reciprocal.
(Diskusi yang disajikan dalam menurunkan persamaan (4.6), halaman 27, menunjukkan bahwa istilah bentuk fi (t - 'v / ZÜz) menggambarkan pola perjalanan, bergerak ke arah peningkatan z dengan kecepatan yang diberikan oleh rasio ( koefisien dari z) dan tidak ada distorsi saat berjalan. Bentuk waktu dari pola dapat ditemukan dengan memplot fl sebagai fungsi waktu untuk beberapa nilai konstan z, seperti z = O. A f2 istilah (t + WC Z) juga menggambarkan pola yang bergerak ke arah penurunan z.)
BAB. 3] THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE 25
3,6. Tunjukkan bahwa untuk kasus yang sangat khusus dari saluran transmisi yang koefisien sirkuit didistribusikan terkait oleh R / L = G / C solusi untuk persamaan (8.8) adalah
Sebuah garis dengan sifat-sifat ini dikenal sebagai "garis distorsi Heaviside" dan disebutkan lebih lanjut dalam Bab 5, halaman 49. Pola waktu dari setiap sinyal yang bepergian dalam satu arah pada garis seperti itu adalah sama pada setiap penampang, kecuali untuk faktor skala. Amplitudo berkurang secara eksponensial seiring perjalanan pola,
3.7. Untuk saluran transmisi Soal 3.1, tegangan pada koordinat Zl ditemukan diberikan oleh = 30 sin (102 t + # / 6) volt, sebagai fungsi waktu. Turunkan ekspresi untuk gradien saat ini sepanjang garis pada titik Zl dalam ampere / m, dengan asumsi nilai yang diberikan untuk R, L, G, dan C menjadi valid pada frekuensi yang jauh lebih rendah ini, Am. 0,121 X 10 —8 cos (10 2 t - 2.86) amperes / m.
3.8. (a) Untuk saluran transmisi lossless dari Soal 3.5, tunjukkan bahwa jika tegangan pada garis diberikan oleh v (z, t) = VI fl (t - vrjÜz) di mana VI adalah konstanta dan fl adalah fungsi kontinu dengan turunan pertama dan kedua , maka arus diberikan oleh i (z, t) = v (z, t) / √L/C.
(b) Untuk garis Distorsi Heaviside Soal 3.6, tunjukkan bahwa jika tegangan pada garis diberikan oleh v(z, t) = v 1 e—RTÖ7Ez fl(t — YEÜz), dimana fl memenuhi ketentuan yang dinyatakan dalam (a), maka arus pada garis adalah i (z, t) = v (z, t) / y / √L/C.
(Hubungan tegangan arus yang berlaku dalam kasus khusus ini (o) dan (b) ditunjukkan pada Bab 5 sebagai pendekatan yang memadai untuk semua jalur transmisi "rugi-rendah". Namun, hal ini tidak berlaku untuk jalur-jalur tipikal yang digunakan. pada frekuensi sinyal rendah seperti frekuensi suara.)3.9.
3.9. Untuk semua jalur transmisi biasa yang digunakan pada frekuensi hingga ratusan megahertz, rasio R / L jauh lebih besar daripada rasio GIC. Namun, untuk garis dengan insulasi dielektrik padat yang digunakan pada frekuensi gelombang mikro, relasi untuk garis distorsi Heaviside Soal 3.6 dapat dicapai, dengan koenisi sirkuit terdistribusi yang memiliki nilai: R = 0,15 ohms / m, L = 0,375 microhenries / m, G '= 30 micromhos / m, C = 75 micromicrofarads / m. Jika pola waktu dari tegangan input ke garis ini adalah v (t) = 'VI fl (t), tentukan (c) pola waktu tegangan pada titik 800 m sepanjang garis dari terminal input dan (b) pola waktu arus pada terminal input dari garis. Diasumsikan bahwa sinyal-sinyal pada saluran sedang bergerak menjauh dari terminal input. Ang. (A) Pola waktu tegangan pada titik yang jauh adalah sama seperti pada terminal input, tetapi tertunda oleh 4,2 mikrodetik dan berkurang dalam besaran oleh faktor 0,18. (b) Pola waktu arus pada terminal input sama dengan pola waktu tegangan, dengan skala ordinat diubah dari volt menjadi ampere dalam proporsi 0,014 ampere / volt.
8.10. Tunjukkan bahwa jika L = G = O, persamaan (3.7) dan (3.8) menjadi identik dengan persamaan "aliran panas" atau "difusi" satu dimensi dari fisika matematika klasik, ketika perubahan yang sesuai dibuat dalam simbol.
(Dengan demikian jika tegangan pada ujung input saluran transmisi tersebut meningkat dari nol ke nilai konstan pada t = O (awal dari titik atau kode telegraf), variasi tegangan berikutnya dengan waktu di terminal jauh ujung beban dari garis akan memiliki pola waktu yang sama dengan kenaikan suhu pada salah satu ujung batang bahan homogen yang diisolasi termal setelah suhu pada ujung yang lain telah dinaikkan pada t = O oleh beberapa jumlah konstan di atas suatu termal awal. nilai ekuilibrium. Ini adalah masalah yang diselesaikan oleh William Thomson (Lord Kelvin) pada 1853-55 ketika dia sedang menyelidiki kepraktisan kabel telegraf bawah laut transatlantik.)
Z seperti, z = 0, Sebuah f2 (t + WC Z) juga menggambarkan pola yang bergerak ke arah penurunan z.)
3.1. Domain waktu dan domain frekuensi,
Dua ilustrasi sirkuit saluran transmisi lengkap ditunjukkan pada Gambar. 3-1, menggabungkan definisi notasi dari Bab 2. Pada Gambar. 3-1 a) tegangan sinyal sumber adalah fungsi umum waktu, dan fitur rangkaian listrik dari sumber dan beban terminal dijelaskan oleh jaringan resistansi, induktansi dan kapasitansi. Pada Gambar. 3-1 (b) tegangan sinyal sumber adalah fungsi harmonik amplitudo konstan waktu pada beberapa frekuensi sudut ɵ rad / detik. Representasi rangkaian sumber dan beban terminal diganti dengan nilai-nilai impedansi masing-masing Zs dan ZT pada frekuensi tersebut.
terminal load
RLC network
Bab. 3] THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE 19
Gambar 3-1 (b) jelas bentuk di mana sirkuit akan ditarik ketika diinginkan untuk menentukan solusi a-c steady state pada frekuensi yang ditentukan. Dalam situasi umum nilai-nilai mungkin diberikan untuk frekuensi sudut (D, sumber tegangan rms phasor Vs, impedansi Zs dan ZT pada frekuensi 0, dan koefisien sirkuit terdistribusi R, L, G dan C untuk saluran transmisi pada frekuensi tersebut Informasi yang diinginkan adalah nilai-nilai fasor rms dari tegangan dan arus pada input dan ujung beban terminal dari garis, dan variasi dari tegangan fasor dan arus sepanjang garis.
Sebuah komplikasi muncul dari fakta bahwa dalam kasus-kasus praktis, sinyal-sinyal aktual yang ditangani oleh rangkaian saluran transmisi tidak pernah terbatas pada satu frekuensi, tetapi mencakup bandwidth yang terbatas. Contoh umum adalah rentang frekuensi audio dari sinyal suara, rentang frekuensi video dari sinyal gambar televisi, dan frekuensi harmonik dalam spektrum Fourier dari transien switching atau gelombang petir yang diinduksi pada saluran listrik 60-hertz.
Karena perilaku saluran transmisi nyata selalu bervariasi dengan frekuensi, sinyal dari bandwidth non-nol selalu terdistorsi dalam transmisi. Sifat distorsi untuk sinyal multi-frekuensi semacam itu adalah bahwa hubungan fase dan amplitudo di antara frekuensi komponen sinyal tidak sama pada keluaran saluran transmisi sebagaimana sinyal asli pada input.
Alternatif untuk menyelesaikan sirkuit saluran transmisi untuk perubahan fase dan amplitudo antara input dan output pada beberapa frekuensi yang berbeda dalam bandwidth dari sinyal. Distorsi pola waktu dari sinyal kompleks kemudian dapat diperoleh dengan prosedur sintesis, jika diinginkan. Kecuali untuk sinyal yang melibatkan pulsa atau diskontinuitas tajam lainnya, bagaimanapun, distorsi saluran transmisi sinyal bandwidth-hingga umumnya ditafsirkan secara langsung dari data pada variasi fase dan amplitudo dengan frekuensi di atas bandwidth sinyal, bukan dari perbandingan pola waktu.
Persamaan diferensial diturunkan dalam bab ini untuk kedua rangkaian domain waktu Gambar 3-1 (a) dan rangkaian domain frekuensi Gambar 3-l (b), dengan asumsi koefisien rangkaian terdistribusi konstan dalam setiap kasus.
3.2, Persamaan dalam domain waktu.
Persamaan diferensial untuk jalur transmisi seragam ditemukan dengan memusatkan perhatian pada bagian infinitesimal garis panjang AZ, yang terletak di koordinat z pada garis, jauh dari pemutusan jalur tersebut. Bagian baris ini memiliki resistansi seri total R AZ, induktansi seri L AZ, kapasitansi pintal C Az dan konduktansi shunt G AZ, dari dalil-dalil Bab 2. Sirkuit ekuivalennya sebagai jaringan dua-port dapat digambar dalam sejumlah cara yang berbeda. , menggabungkan elemen-elemen sirkuit ini. Salah satu sirkuit tersebut adalah L-bagian dari Gambar. 3-2 di bawah ini.
20 THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE [Bab. 3
melalui elemen konduktansi dan kapasitansi. Menggunakan kuantitas instan Gambar 3-2 (a), relasi ini dinyatakan dengan persamaan berikut, diturunkan dengan penerapan hukum Kirchhoff ke sirkuit:
+ AZ, t) — v(z, t)
Av(z, t)
öi(z,
—R Az i(z, t) — LAZ
i(z + AZ, t) — i(z, t)
Ai(z, t)
öv(z, t)
—G Az v(z, t) — CAZ
(3.2)
t)
Dibagi oleh Az dan kemudian membiarkan Az mendekati nol mengarah ke persamaan diferensial parsial
öv(z, t) -Ri(z, t) - L öi(z, t) (8.9) öz öi(z, t)öv(z, t)
(3.4)
Keberatan dapat dibangkitkan, secara sah, bahwa dalam persamaan (8.2) tidak v (z, t) dan turunannya yang menghasilkan Ai saat ini (z, t), tetapi tegangan v (z + AZ, t) dan turunan. Namun, jika tegangan v (z + AZ, t) diperluas dalam deret Taylor tentang z, ketentuan (82) diperoleh, bersama dengan ketentuan tambahan yang melibatkan (Az) 2, (Az) 3, dll. Ini adalah jumlah yang lebih tinggi dalam jumlah kecil yang dapat dijatuhkan pada melanjutkan ke batas. Tidak ada cara untuk mengatur elemen sirkuit ekuivalen dari panjang garis Az yang menghindari langkah ini.
Dari postulat analisis ini adalah satu-satunya fenomena rangkaian yang mungkin yang dapat menyebabkan tegangan garis bervariasi dengan posisi pada garis. Tanda-tanda berbagai istilah didikte oleh pilihan asli dari konvensi tanda untuk tegangan dan arus pada saluran.
Persamaan (9.4) dapat ditafsirkan dengan cara yang sama.
Bab. 3] THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE 21
Setiap kesan intuitif bahwa tanda-tanda dalam (3,9) dan (3,4) harus menghasilkan tegangan dan arus yang selalu menurun dengan meningkatnya jarak sepanjang garis, tanpa pondasi.
Langkah pertama yang biasa dilakukan untuk mencoba memecahkan persamaan simultan tersebut adalah dengan menghilangkan salah satu variabel. Hal ini dicapai dengan mengambil derivatif parsial sehubungan dengan z dari semua istilah dalam persamaan (9.3), dengan demikian:
ö20(z, t) -R öi(z, t) öZ2 öz
Urutan diferensiasi dalam istilah tangan kanan dapat diubah, memberi
ö2V(Z, t) -R öi(z, t)öi(z, t)
öZ2
Ketika sisi kanan (3.4) diganti dengan öi (z, t) / öz di (3.6), hasilnya adalah
a20(z, t) LC ö2v(z, t) + (LG+RC) öv(z, t) + RG 'V(z, t)
öZ2 öt2
Jika prosedur alternatif mengambil derivatif parsial sehubungan dengan z dari semua istilah dalam (3.4) diikuti, menggantikan hasil ekspresi untuk öv (z, t) / öz yang diperoleh dari (9.3), persamaan diferensial dalam i ( z, t) diperoleh yang mirip dengan (3.7), yaitu, ö2i (z, t) ö2i (z, t) öi (z, t)
LC+ RGi(z, t) (3.8) öZ2 öt2
Fakta bahwa i (z, t) dan v (z, t) mematuhi persamaan diferensial yang sama tidak berarti bahwa mereka adalah fungsi identik dari z dan t dalam masalah praktis, karena secara umum kondisi batas tidak sama untuk dua variabel.
Seperti dicatat untuk persamaan (3.3) dan (3.4), fakta-fakta fisik yang terkandung dalam persamaan ini mudah dipahami, dan persamaan dapat ditulis langsung dari postulat dari Bab 2. Persamaan (3.13) menyatakan bahwa tingkat perubahan Tegangan phasor dengan jarak sepanjang garis, pada titik tertentu dari garis, sama dengan impedansi seri dari garis per satuan panjang dikalikan dengan arus fasor pada titik tersebut. Persamaan (3.14) menyatakan bahwa laju perubahan arus fasor dengan jarak sepanjang garis, pada titik tertentu, sama dengan shunt admitance per satuan panjang garis dikalikan dengan tegangan fasor pada titik tersebut.
Karena ini adalah persamaan bilangan kompleks, masing-masing membawa informasi tentang besaran dan variasi sudut fasa, Tidak ada kesimpulan sederhana yang dapat diambil dari mereka dengan inspeksi. Seperti yang dicatat untuk persamaan yang sesuai (3.3) dan (3.4) dalam domain waktu, tidak benar untuk menyimpulkan dari tanda-tanda negatif dalam persamaan (3.13) dan (9.14) bahwa tegangan dan arus berkurang terus dengan jarak sepanjang garis.
Memecahkan persamaan diferensial orde pertama biasa linear pertama ini dengan koefisien konstan untuk persamaan terpisah dalam V dan I, menghasilkan dua persamaan urutan kedua: d2 V/dz2 - (R + +
d21/dz2 - (R + + ioC)1 (9.16)
Persamaan ini bentuknya jauh lebih mendasar daripada persamaan (3.7) dan (3.8) dan solusi mereka dalam hal V dan saya sebagai fungsi fasor z dapat ditulis langsung dalam ekspresi sederhana, seperti yang dilakukan dalam bab berikutnya. Kesederhanaan yang lebih besar ini menjadi dasar untuk komentar di Bagian 3.3 bahwa realistis untuk mempelajari teori saluran transmisi dengan perhatian utama terhadap solusi yang merupakan fungsi dari variabel frekuensi sudut nyata o, sementara jaringan konstan yang terpusat dapat dipelajari secara bermanfaat melalui solusi yang lebih umum dari persamaan dalam domain waktu atau dalam domain frekuensi kompleks.
22 THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE [Bab.3
Jika keumuman spesifikasi saluran transmisi dikurangi dengan mendalilkan bahwa satu atau dua R, L, G, dan C sangat kecil untuk ditetapkan sama dengan nol, satu atau lebih dari istilah di sebelah kanan persamaan (8.7) dan ( 3.8) akan hilang, Sebagian besar persamaan sederhana yang dihasilkan jatuh ke dalam kategori "standar" yang disebutkan, dan solusi yang bermanfaat bagi mereka dapat ditemukan dengan mudah untuk set kondisi batas yang berarti. Beberapa dari persamaan "berkurang" ini merepresentasikan aplikasi saluran transmisi khusus yang cukup dekat untuk tujuan praktis. Kasus L = G = O, misalnya, adalah deskripsi yang memadai dari kabel telegraf telegraf konduktor tunggal yang digunakan pada frekuensi rendah untuk apa yang disebut transmisi telegraf d-c. Koefisien sirkuit terdistribusi R dan C untuk kabel seperti itu sangat tepat konstan untuk semua aspek dari sinyal yang terlibat. Kasus R = G = O menggambarkan garis "lossless". Meskipun tidak ada jalur biasa yang benar-benar tanpa kehilangan, persamaan sederhana yang dihasilkan memberikan informasi yang berguna tentang sifat transmisi dari panjang pendek konduktor besar (karenanya kehilangan rendah) saluran transmisi frekuensi tinggi, seperti mungkin digunakan untuk membawa kekuatan sinyal televisi dari pemancar ke antena.
3.4Persamaan dalam domain frekuensi,
Untuk mengembangkan persamaan diferensial yang menggambarkan perilaku saluran transmisi dalam domain frekuensi, prosedur yang paling sederhana adalah kembali ke bagian L yang sangat kecil pada Gambar 3-2 (b). Dua persamaan fasor dapat ditulis:
AV(z) = -RAz1(z) - joLAz1(z)
I(z) = Al(z) = -Gaz V(z) - ioCAz V
(3.9)
(9.10)
Setiap istilah persamaan ini adalah bilangan kompleks. Masing-masing secara implisit adalah fungsi harmonik waktu pada frekuensi sudut (D radian per detik. Referensi sudut fase nol untuk bilangan kompleks ketika dinyatakan dalam bentuk polar adalah arbitrary. Pilihan yang nyaman untuk referensi ini mungkin merupakan fasor tegangan sumber, atau fasor tegangan di ujung input atau ujung beban terminal dari garis.
Sebagai persamaan dalam tegangan sesaat (bentuk yang diterapkan oleh hukum Kirchhoff), persamaan (8.9) akan mengambil bentuk berikut, menggunakan konvensi umum analisis rangkaian fasor:
Re {V(z) — R Az Re {I(z) ejå)t } — LAZ Re {io I(z) cot } (3.90)
dimana Re { } berarti bagian nyata dari bilangan kompleks di kurung kurawal. R Az dan L Az adalah bilangan real menurut definisinya.
Persamaan serupa dapat ditulis untuk arus sesaat dari persamaan (3.10).
Membagi persamaan (3.9) dan (3.10) oleh Az dan membiarkan Az mendekati nol, mengarah ke persamaan diferensial
= - (R + job) I(z) (3.11)
(3.12)
Ini tidak ditulis sebagai persamaan diferensial parsial, karena V dan saya secara eksplisit hanya berfungsi dari satu variabel z. Bahkan tidak perlu diingatkan secara terus-menerus bahwa V dan saya adalah fungsi dari z, dan persamaannya dapat lebih disederhanakan menjadi
Bab. 3] THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE 23
Seperti dicatat untuk persamaan (3.3) dan (3.4), fakta-fakta fisik yang terkandung dalam persamaan ini mudah dipahami, dan persamaan dapat ditulis langsung dari postulat dari Bab 2. Persamaan (3.13) menyatakan bahwa tingkat perubahan Tegangan phasor dengan jarak sepanjang garis, pada titik tertentu dari garis, sama dengan impedansi seri dari garis per satuan panjang dikalikan dengan arus fasor pada titik tersebut. Persamaan (3.14) menyatakan bahwa laju perubahan arus fasor dengan jarak sepanjang garis, pada titik tertentu, sama dengan shunt admitance per satuan panjang garis dikalikan dengan tegangan fasor pada titik tersebut.
Karena ini adalah persamaan bilangan kompleks, masing-masing membawa informasi tentang besaran dan variasi sudut fasa, Tidak ada kesimpulan sederhana yang dapat diambil dari mereka dengan inspeksi. Seperti yang dicatat untuk persamaan yang sesuai (3.3) dan (3.4) dalam domain waktu, tidak benar untuk menyimpulkan dari tanda-tanda negatif dalam persamaan (3.13) dan (9.14) bahwa tegangan dan arus berkurang terus dengan jarak sepanjang garis.
Memecahkan persamaan diferensial orde pertama biasa linear pertama ini dengan koefisien konstan untuk persamaan terpisah dalam V dan I, menghasilkan dua persamaan urutan kedua: d2 V/dz2 - (R + +
d21/dz2 - (R + + ioC)1 (9.16)
Persamaan ini bentuknya jauh lebih mendasar daripada persamaan (3.7) dan (3.8) dan solusi mereka dalam hal V dan saya sebagai fungsi fasor z dapat ditulis langsung dalam ekspresi sederhana, seperti yang dilakukan dalam bab berikutnya. Kesederhanaan yang lebih besar ini menjadi dasar untuk komentar di Bagian 3.3 bahwa realistis untuk mempelajari teori saluran transmisi dengan perhatian utama terhadap solusi yang merupakan fungsi dari variabel frekuensi sudut nyata o, sementara jaringan konstan yang terpusat dapat dipelajari secara bermanfaat melalui solusi yang lebih umum dari persamaan dalam domain waktu atau dalam domain frekuensi kompleks.
Soal Latihan
3.1. Koenisi sirkuit terdistribusi dari jalur kabel pasangan pengukur 19 pada = 104 rad / detik adalah: R = 0,053 ohms / m, L = 0,62 microhenries / m, G = 950 micromicromhos / m, C = 39,5 micromicrofarads / m. Pada koordinat z pada garis arus seketika diberikan oleh i (t) = 75 cos 104 t milliamperes. @) Temukan ekspresi untuk gradien tegangan sepanjang garis pada titik z, dalam volt / m. (b) Berapakah nilai maksimum maksimum dari gradien tegangan?
gradien tegangan diberikan dalam domain waktu dengan persamaan (3.8) sebagai öv/öz —Ri — Löi/öt —0.053(0.075 cos 10%) + (0.62 X x 0.075 sin 10%)
—3.98 X 10 -8 cos 104t + 0.46 X 10 -3 sin 104t4.01 cos (104t — 3.03) millivolts/m
gradien tegangan maksimum adalah 4.01 millivolts/m, jika cos (104t — 3.03)
24 THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE [Bab. 3
3.2. Untuk jalur transmisi Soal 3.1, tegangan fasor pada suatu titik pada garis memiliki rms besarnya 16,5 volt, frekuensi sinyal menjadi 1100 hertz. Asumsikan nilai-nilai yang diberikan untuk R, L, G dan C menjadi valid pada frekuensi yang sedikit berbeda ini, (a) Tentukan sebuah ekspresi untuk gradien fasor saat ini sepanjang garis pada titik yang sama, (b) Berapa besarnya fasor rms dari arus transversal antara dua konduktor sepanjang 10 cm dari panjang garis pada titik, dan apa sudut fase arus ini relatif terhadap tegangan garis pada titik? (c) Berapa gradien arus sesaat maksimum sepanjang garis pada titik tersebut?
Gradien saat ini sepanjang garis diberikan dalam domain frekuensi dengan persamaan (8.14) sebagai
dl/dz = — (G + iwC)V
— [950 X 10-12 + i(2T X + 50)
— (0.016 + 54.51) X 10 —6 amperes/m
Persaman (8.10)
menunjukkan bahwa perubahan arus longitudinal sepanjang bagian pendek garis adalah negatif dari arus transversal untuk bagian yang sama.
Oleh karena itu arus transversal untuk panjang 10 cm adalah 0.1(0.016 + 54.51) X 10 ¯6
ampere, dinyatakan sebagai kuantitas fasor, fasor referensi dari sudut fase nol menjadi tegangan garis pada titik tersebut. Arus transversal menyebabkan tegangan garis oleh tan -1 4,51 / 0,016 = 89,7 0 dan hampir arus murni kapasitif.
Karena besaran semua besaran fasor yang digunakan dalam (o) dan (b) adalah nilai rms, gradien arus sesaat maksimum sepanjang garis adalah VT 10,016 + 54,511 X 10 -6 = 6,38 mikroamperes / m.
Masalah Tambahan
3.3. (a) Gambarkan kembali rangkaian Gambar 3-2 sebagai jaringan T simetris, dengan resistansi seri dan induktansi seri dari bagian dibagi menjadi dua bagian yang sama.
(b) Gambarkan kembali rangkaian Gambar. 3-2 sebagai T-jaringan simetris, dengan konduktansi shunt dan kapasitansi shunt dari bagian dibagi menjadi dua bagian yang sama.
(c) Buat kembali rangkaian Gambar 3-2 sebagai jaringan L terbalik, dengan konduktansi shunt dan kapasitansi shunt di sebelah kiri.
3.4.
Untuk masing-masing rangkaian Soal 3.3, buat notasi domain-waktu yang sesuai untuk • v dan i pada setiap simpul jaringan. Untuk setiap rangkaian tulis persamaan eeact yang berhubungan dengan persamaan (3.1) dan (8.2). Dengan membuat ekspansi seri Taylor baik v atau i tentang koordinat z, menunjukkan bahwa persamaan yang tepat mengurangi dalam setiap kasus ke (8.1) dan (8.2) pada melanjutkan ke batas dengan membiarkan pendekatan Az nol.
3.5. Tulis ulang persamaan (8.7) untuk saluran transmisi lossless R = G = O.
(a) Tunjukkan bahwa untuk persamaan yang dihasilkan
v(z, t) adalah solusi, di mana fl dan f2 adalah fungsi kontinu yang memiliki turunan pertama dan kedua, (b) Dimensi apa yang ditunjukkan untuk kuantitas? ATL8. (B) kecepatan Reciprocal.
(Diskusi yang disajikan dalam menurunkan persamaan (4.6), halaman 27, menunjukkan bahwa istilah bentuk fi (t - 'v / ZÜz) menggambarkan pola perjalanan, bergerak ke arah peningkatan z dengan kecepatan yang diberikan oleh rasio ( koefisien dari z) dan tidak ada distorsi saat berjalan. Bentuk waktu dari pola dapat ditemukan dengan memplot fl sebagai fungsi waktu untuk beberapa nilai konstan z, seperti z = O. A f2 istilah (t + WC Z) juga menggambarkan pola yang bergerak ke arah penurunan z.)
BAB. 3] THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE UNIFORM TRANSMISSION LINE 25
3,6. Tunjukkan bahwa untuk kasus yang sangat khusus dari saluran transmisi yang koefisien sirkuit didistribusikan terkait oleh R / L = G / C solusi untuk persamaan (8.8) adalah
Sebuah garis dengan sifat-sifat ini dikenal sebagai "garis distorsi Heaviside" dan disebutkan lebih lanjut dalam Bab 5, halaman 49. Pola waktu dari setiap sinyal yang bepergian dalam satu arah pada garis seperti itu adalah sama pada setiap penampang, kecuali untuk faktor skala. Amplitudo berkurang secara eksponensial seiring perjalanan pola,
3.7. Untuk saluran transmisi Soal 3.1, tegangan pada koordinat Zl ditemukan diberikan oleh = 30 sin (102 t + # / 6) volt, sebagai fungsi waktu. Turunkan ekspresi untuk gradien saat ini sepanjang garis pada titik Zl dalam ampere / m, dengan asumsi nilai yang diberikan untuk R, L, G, dan C menjadi valid pada frekuensi yang jauh lebih rendah ini, Am. 0,121 X 10 —8 cos (10 2 t - 2.86) amperes / m.
3.8. (a) Untuk saluran transmisi lossless dari Soal 3.5, tunjukkan bahwa jika tegangan pada garis diberikan oleh v (z, t) = VI fl (t - vrjÜz) di mana VI adalah konstanta dan fl adalah fungsi kontinu dengan turunan pertama dan kedua , maka arus diberikan oleh i (z, t) = v (z, t) / √L/C.
(b) Untuk garis Distorsi Heaviside Soal 3.6, tunjukkan bahwa jika tegangan pada garis diberikan oleh v(z, t) = v 1 e—RTÖ7Ez fl(t — YEÜz), dimana fl memenuhi ketentuan yang dinyatakan dalam (a), maka arus pada garis adalah i (z, t) = v (z, t) / y / √L/C.
(Hubungan tegangan arus yang berlaku dalam kasus khusus ini (o) dan (b) ditunjukkan pada Bab 5 sebagai pendekatan yang memadai untuk semua jalur transmisi "rugi-rendah". Namun, hal ini tidak berlaku untuk jalur-jalur tipikal yang digunakan. pada frekuensi sinyal rendah seperti frekuensi suara.)3.9.
3.9. Untuk semua jalur transmisi biasa yang digunakan pada frekuensi hingga ratusan megahertz, rasio R / L jauh lebih besar daripada rasio GIC. Namun, untuk garis dengan insulasi dielektrik padat yang digunakan pada frekuensi gelombang mikro, relasi untuk garis distorsi Heaviside Soal 3.6 dapat dicapai, dengan koenisi sirkuit terdistribusi yang memiliki nilai: R = 0,15 ohms / m, L = 0,375 microhenries / m, G '= 30 micromhos / m, C = 75 micromicrofarads / m. Jika pola waktu dari tegangan input ke garis ini adalah v (t) = 'VI fl (t), tentukan (c) pola waktu tegangan pada titik 800 m sepanjang garis dari terminal input dan (b) pola waktu arus pada terminal input dari garis. Diasumsikan bahwa sinyal-sinyal pada saluran sedang bergerak menjauh dari terminal input. Ang. (A) Pola waktu tegangan pada titik yang jauh adalah sama seperti pada terminal input, tetapi tertunda oleh 4,2 mikrodetik dan berkurang dalam besaran oleh faktor 0,18. (b) Pola waktu arus pada terminal input sama dengan pola waktu tegangan, dengan skala ordinat diubah dari volt menjadi ampere dalam proporsi 0,014 ampere / volt.
8.10. Tunjukkan bahwa jika L = G = O, persamaan (3.7) dan (3.8) menjadi identik dengan persamaan "aliran panas" atau "difusi" satu dimensi dari fisika matematika klasik, ketika perubahan yang sesuai dibuat dalam simbol.
(Dengan demikian jika tegangan pada ujung input saluran transmisi tersebut meningkat dari nol ke nilai konstan pada t = O (awal dari titik atau kode telegraf), variasi tegangan berikutnya dengan waktu di terminal jauh ujung beban dari garis akan memiliki pola waktu yang sama dengan kenaikan suhu pada salah satu ujung batang bahan homogen yang diisolasi termal setelah suhu pada ujung yang lain telah dinaikkan pada t = O oleh beberapa jumlah konstan di atas suatu termal awal. nilai ekuilibrium. Ini adalah masalah yang diselesaikan oleh William Thomson (Lord Kelvin) pada 1853-55 ketika dia sedang menyelidiki kepraktisan kabel telegraf bawah laut transatlantik.)
Z seperti, z = 0, Sebuah f2 (t + WC Z) juga menggambarkan pola yang bergerak ke arah penurunan z.)
